Was ist integration durch substitution?

Die Methode der Integration durch Substitution ist eine Technik in der Integralrechnung, die es ermöglicht, komplexe Integrale zu lösen, indem eine geeignete Substitution vorgenommen wird.

Die Grundidee besteht darin, eine Funktion u(x) zu finden, so dass die Ableitung von u(x) mit der Funktion f(x) multipliziert gleich dem Integranden ist, also f(x) * u'(x) = g(x). Durch die Anwendung dieser Substitution wird das Integral in ein einfacheres umgeformt, das dann gelöst werden kann.

Die Schritte zur Integration durch Substitution sind im Allgemeinen wie folgt:

1. Wähle eine geeignete Substitution, indem du u(x) als eine Funktion von x wählst.
2. Berechne die Ableitung von u(x), also u'(x).
3. Setze die Substitution u(x) in den Integranden ein und ersetze auch dx durch eine entsprechende Ableitung von u(x) (z.B. du).
4. Löse das vereinfachte Integral mit der Substitution u.

Die Integration durch Substitution wird häufig bei komplizierten Funktionen verwendet, bei denen eine direkte Integration schwierig ist. Es ist eine wichtige Technik in der Integralrechnung und wird oft in Kombination mit anderen Integrationsmethoden eingesetzt, um schwierige Integrale zu lösen.