Was ist integration durch substitution?

Die Integration durch Substitution, auch bekannt als u-Substitution, ist eine wichtige Technik in der Integralrechnung, die verwendet wird, um Integrale zu vereinfachen, die sonst schwer direkt zu lösen wären. Sie ist im Wesentlichen die Umkehrung der Kettenregel der Differentiation.

Grundprinzip:

Die Idee hinter der Substitution ist, einen Teil des Integranden durch eine neue Variable (oft u) zu ersetzen, sodass das Integral in Bezug auf diese neue Variable einfacher zu berechnen ist. Wenn man ein Integral der Form ∫f(g(x))g'(x) dx hat, kann man u = g(x) substituieren. Dann ist du = g'(x) dx. Das Integral verwandelt sich dann in ∫f(u) du, was oft leichter zu lösen ist.

Schritte der Integration durch Substitution:

1. Wähle eine Substitution: Finde einen geeigneten Ausdruck g(x) im Integranden, der als u substituiert werden kann. Ein guter Kandidat ist oft ein innerer Ausdruck einer zusammengesetzten Funktion oder ein Ausdruck, dessen Ableitung ebenfalls im Integranden vorhanden ist.

2. Berechne die Ableitung: Berechne die Ableitung von u bezüglich x: du/dx = g'(x).

3. Drücke dx aus: Löse die Gleichung du/dx = g'(x) nach dx auf: dx = du/g'(x).

4. Substituiere: Ersetze g(x) durch u und dx durch du/g'(x) im ursprünglichen Integral. Das Ziel ist, ein Integral zu erhalten, das nur noch von u abhängt.

5. Berechne das Integral: Berechne das Integral in Bezug auf u: ∫f(u) du = F(u) + C, wobei F(u) die Stammfunktion von f(u) ist.

6. Resubstituiere: Ersetze u durch g(x) in der Stammfunktion, um das Ergebnis in Bezug auf die ursprüngliche Variable x zu erhalten: F(g(x)) + C.

Beispiele:

Beispiel: ∫2x * cos(x²) dx

1. Substitution: u = x²
2. Ableitung: du/dx = 2x
3. dx ausdrücken: dx = du / (2x)
4. Substituieren: ∫2x * cos(u) * (du / 2x) = ∫cos(u) du
5. Integrieren: ∫cos(u) du = sin(u) + C
6. Resubstituieren: sin(x²) + C

Wichtige Aspekte:

• Wahl der Substitution: Die Wahl der richtigen Substitution ist oft der schwierigste Teil. Es erfordert Übung und Erfahrung, um Muster zu erkennen.
• Definite Integrale: Bei der Berechnung definiter Integrale mit Substitution müssen entweder die Integrationsgrenzen entsprechend der Substitution angepasst werden (von x-Werten zu u-Werten) oder nach der Integration resubstituiert und die ursprünglichen Grenzen verwendet werden.
• Trigonometrische Substitutionen: Eine spezielle Art der Substitution wird bei Integralen mit Ausdrücken wie √(a² - x²), √(a² + x²) oder √(x² - a²) verwendet, wobei trigonometrische Funktionen für x eingesetzt werden.
• Partielle Integration: In manchen Fällen kann die Integration durch Substitution mit der <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Partielle%20Integration">partiellen Integration</a> kombiniert werden, um das Integral zu lösen.

Verwandte Konzepte:

• <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Integralrechnung">Integralrechnung</a>
• <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Differentiation">Differentiation</a>
• Kettenregel
• <a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Trigonometrische%20Funktionen">Trigonometrische Funktionen</a>
• Definite Integrale
• Unbestimmte Integrale